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Chapitre 3 - Suites numériques

Reconnaître et exploiter une suite géométrique
Connaître la formule de la somme d'une suite géométrique
Déterminer la limite d'une suite géométrique de raison strictement positive
Trouver, à l'aide d'un algorithme, la valeur de dépassement d'une suite géométrique
Traduire une situation donnée à l'aide d'une suite arithmético-géométrique

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux suites numériques, plus particulièrement les suites géométriques. On abordera vers la fin du chapitre les suites aritmético-géométriques dans des problèmes concrets.

IGénéralités

1Rappels

Une suite numérique, notée $(u_n)$ est une famille ordonnée infinie de nombres réels.
Le n-ième terme (ou terme de rang n) est noté $u_n$.

Les suites numériques peuvent représenter des valeurs théoriques comme les nombres premiers, mais aussi des valeurs concrètes en évolution comme la démographie mondiale.

$(p_n) = (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...)$ est la suite des nombres premiers

$(u_n) = (6.085, 6.5, 6.842, 7.058, ...)$ est une suite approximant, en milliards d'habitants, la population mondiale à partir de l'an 2000

Dans les exemples précédents, on a $p_0 = 1; p_1 = 2, etc.$ et $u_0 = 6.085, u_1 = 6.5, etc. $. Sauf mention contraire, en général, le premier terme d'une suite est en fait le "0-ème" terme.

Une suite peut être exprimée de manière explicite, c'est à l'aide d'une formule exacte permettant de calculer ses valeurs comme pour une fonction.

Soit la suite $(u_n)$ définie explicitement par : $$ u_n = 2 n + 1$$ Alors, $u_0 = 1 ; u_1 = 3 ; u_2 = 5 ; ... ; u_{1000} = 2001 $; etc. (Il s'agit de la suite des nombres impairs).

Une suite peut être exprimer de manière récursive, c'est à dire en exprimant le terme à venir $u_{n+1}$ par rapport au terme en cours $u_n$. Il n'est possible de calculer les termes de la suite qu'en commençant par le premier et en en déduisant ses successeurs les uns après les autres.

Soit la suite $(u_n)$ définie récursivement par : $$ \begin{array}{lll} u_{n+1} &=& u_n + 2 \\ u_0 &=& 1 \end{array} $$ Alors, $u_0 = 1 ; u_1 = 3 ; u_2 = 5 $; etc. (Il s'agit de la même suite des nombres impairs).

La formule explicite d'une suite est pratique et permet de calculer directement n'importe quel terme, même d'indice grand
La formule récursive d'une suite ne permet pas de calculer directement n'importe quel terme. Son intérêt est plutôt descriptif. Dans l'exemple précédent, on comprend que $(u_n)$ est la suite qui démarre à 1 et ajouter 2 à chaque pas.
Une suite numérique peut très bien avoir une formule explicite et une formule récursive.

Une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ commence à $u_0$, puis les termes suivants sont obtenus en multipliant son prédécesseur par $q$.

Formule récursive : $\{\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& q u_n \\ u_0 && \end{array}$
Formule explicite : $u_n = u_0 q^n$

La suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 notée $u_n$ admet les formules suivantes :

Formule récursive : $\{\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& 2 u_n \\ u_0 &=& 1 && \end{array}$
Formule explicite : $u_n = 2^n$

Que l'on utilise l'une ou l'autre des deux formules, on obtient : $u_0 = 1 ; u_1 = 2 ; u_2 = 4 ; u_3 = 8 ; u_3 = 16 ; ... ; u_{10} = 1024 ; ...$

On estime à 1,14% le taux d'accroissement annuel de la population mondiale. Afin de construire une suite prévisionnelle de la population mondiale à partir de 2010 (où on estime la population à 6.842 milliards), on peut multiplier la valeur de chaque année précédente par 1,0114 pour obtenier la suivante. On est alors en train de construire une suite géométrique $(u_n)$de raison 1,0114 et de premier terme 6,842 : $$ \{\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& 1,0114 u_n \\ u_0 &=& 6,842 && \end{array}$$ La formule explicite est la suivante : $u_n = 6,842 \times 1,0114^n$
On est alors capable d'estimer la population mondiale de 2020 : $$ u_{20} = 6,842 \times 1,0114^{20} \simeq 7.66$$

2Reconnaître une suite géométrique

Démontrer la véracité ou la fausseté d'une propriété ne se fait pas de la même manière :

Afin de démontrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de calculer 3 termes consécutifs et vérifier qu'ils n'entretiennent pas de rapport.

Prenons la suite $(u_n)$ définie explicitement par $u_n = 2 n + 1$. Alors $u_0 = 1; u_1 = 3 ; u_2 = 5$.
Calculons les rapports $\frac{u_1}{u_0} = 3$ et $\frac{u_2}{u_1} = \frac{5}{3}$
Comme $\frac{5}{3} \neq 3$, la suite $u_n$ ne peut pas être géométrique

Attention, vérifier que quelques rapports sont les mêmes ne suffit pas à démontrer qu'un suite est géométrique. En effet, il faudrait pour cela les calculer tous, ce qui est impossible puisqu'une suite est infinie par définition.

Afin de démontrer qu'une suite est bien géométrique, il faut reconnaître une des deux formules générale (explicite ou récursive).

Prenons la suite $(u_n)$ définie explicitement par $u_n = 3^n$.
On peut reformuler $u_n = 1 \times 3^n$ et on reconnaît alors la formule explicite générale avec $u_0 = 1$ et $q = 3$, il s'agit donc bien d'une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $1$
Prenons la suite $(u_n)$ définie explicitement par $u_n = - \frac{3^n}{2^n}$.
On peut reformuler $u_n = -1 \times (\frac{3}{2})^n$ et on reconnaît alors la formule explicite générale avec $u_0 = -1$ et $q = \frac{3}{2}$, il s'agit donc bien d'une suite géométrique de raison $\frac{3}{2}$ et de premier terme $-1$.
On considère une suite vérifiant l'égalité suivante $6 u_{n} = 2 u_{n+1}$
On peut transformer l'égalité en $u_{n+1} = 3 u_n$ pour reconnaître la formule générale récursive d'une suite géométrique de raison 3. Il n'est pas nécessaire de connaître le premier terme pour conclure.

IIVariations et limites

1Variations d'une suite géométrique

On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0 \gt 0$ :

Si $q > 1$, alors la suite est croissante.
Si $0 < q < 1$, alors la suite est décroissante.
Si $q = 1$, alors la suite est constante et tous ses termes valent $u_0$.

Dans cet exemple, $q > 1$ ($q=2$) et $u_0 > 0$ la suite est croissante :

Dans cet exemple, $q < 1$ ($q=\frac{1}{2}$) et $u_0 > 0$ la suite est décroissante :

Nous avons vu sur un exemple précédent que la population mondiale actuelle peut-être approximée par une suite géométrique de raison $1,0114$. Par conséquent la population actuelle croît.

Le cas $q=0$ n'est pas très intéressant, il s'agira d'une suite de termes nuls.

2Limite d'une suite géométrique

On considère la suite géométrique $u_n = q^n$ de raison $q$ et de premier terme $1$ :

Si $q \gt 1$, alors la suite tend vers $+ \infty$, noté $lim\ u_n= +\infty$.
Si $0 < q < 1$, alors la suite tend vers $0$, noté $lim\ u_n= 0$.

La suite géométrique $u_n = 2^n$ de raison 2 et premier terme 1 tend vers $+ \infty$. Cela signifie que ses termes peuvent devenir arbitrairement grands : $$ u_0 = 1 ; u_1 = 2 : u_2 = 4 ; u_{10} = 1024 ; u_{20} = 1048576 ; ...$$

La suite géométrique $u_n = (\frac{1}{2})^n$ de raison $\frac{1}{2}$ et premier terme 1 tend vers $0$. Cela signifie que ses termes peuvent devenir arbitrairement proches de 0 : $$ u_0 = 1 ; u_1 = \frac{1}{2} : u_2 = \frac{1}{4} ; u_{10} = \frac{1}{1024} ; u_{20} = \frac{1}{1048576} ; ...$$

3Trouver une valeur de dépassement

Lorsque $u_n = q^n$ tend vers $+ \infty$, on peut se demander à partir de quel terme la suite risque de dépasser un million, un milliard, etc. La valeur à dépasser est appelée le seuil

AMethode naïve

Calculer dans l'ordre, les termes de la suite $u_0 ; u_1 ; u_2 ; $ etc. jusqu'à dépasser le seuil.

On cherche à partie de quel terme la suite $u_n = 5^n$ dépasse 100. On calcule : $$ u_0 = 5^0=1 ; u_1 = 5^1=5 ; u_2 = 5^2 = 25 : u_3 = 5^3 = 125$$ La suite dépasse donc le seuil de 100 à partir du 5-ème terme.

Cette méthode est mauvaise si le seuil est très grand.

Bméthode tableur

Entrer la formule de la suite sur un tableur (voir ci-dessous), et faire défiler les valeurs jusqu'à trouver le terme dépassant le seuil

Cette méthode est un bon compromis, mais peut être fastidieuse si le tableur est lent, et le seuil très grand (au dela du milliard).

Cméthode algorithmique

On laisse l'algorithme ci-dessous calculer les valeurs de la suite jusqu'à ce qu'il dépasse le seuil et s'arrête de lui même.

Pseudo-code :	TI-82	Casio
q prend la valeur 3 n prend la valeur 0 u prend la valeur 1 s prend la valeur $10^6$ Tant que u est inférieur au seuil n prend la valeur n+1 u prend la valeur $q^n$ Fin Tant que Affiche N	3 $\rightarrow$ Q 0 $\rightarrow$ N 1 $\rightarrow$ U 10^6 $\rightarrow$ S While U < S N+1 $\rightarrow$ N Q^N $\rightarrow$ U End Disp N	3 $\rightarrow$ Q 0 $\rightarrow$ N 1 $\rightarrow$ U 10^6 $\rightarrow$ S While U < S N+1 $\rightarrow$ N Q^N $\rightarrow$ U WhileEnd N

Cette méthode est sans doute la plus efficace. Elle ne fonctionnera plus dés que les nombres calculés deviennent trop grands pour la machine utilisée (de l'ordre de $10^{100}$ pour la TI-82).

IIIAutour de la suite géométrique

1Somme d'une suite géométrique

Dans certaines situations (des problèmes souvent), il est nécessaire d'additioner de nombreux termes d'une suite géométrique. Il existe pour cela une formule :

Soit $u_n$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors : $$ u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} = u_0\times\frac{1-q^n}{1-q} $$

Si on prend $u_0 = 1$ et $q=2$, le calcul donne : $$ 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = \frac{1-2^{10}}{1-2} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023 $$

Dans le cas où la raison $q \lt 1$, la somme ne dépassera jamais une certaine valeur et quand $n$ devient grand ($n$tend vers $+ \infty$), la limite de la somme vaut : $$ lim\ u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} = u_0\times\frac{1}{1-q} $$

Si on prend $u_0 = 1$ et $q=\frac{1}{2}$, le calcul donne : $$ lim\ 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + ... + (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{1-2} = 2 $$

2Suites arithmético-géométrique

Une suite $u_n$ est une suite arithmético-géométrique si elle admet une formule récursive du type : $$ u_{n+1} = a u_n + b $$ (où $a$ et $b$ sont deux nombres réels)

Il y a deux cas simples de suites arithmético-géométrique :

Toute suite géométrique ($b=0$)
Toute suite arithmétique ($a = 1$)

La suite théorique $u_n$ définie par la formule suivante est une suite arithmético-géométrique : $$ u_{n+1} = 3 u_n - 1 $$

Voici un cas concret de suite arithmético-géométrique :

On considère le nombre d'abonnés $u_n$ durant l'année $2010 + n$ à un magazine. On suppose que chaque année 90% des abonnés renouvellent l'abonnement et que 200 nouveaux abonnés apparaissent.

Cela signifie que pour obtenir le nombre d'abonnés $u_{n+1}$de l'année suivante, il faut multiplier le nombre d'abonnés $u_n$de l'année en cours par le $CM = 1 - \frac{10}{100} = 0.9$ et y ajouter 200 : $$ u_{n+1} = 0,9 u_{n} + 200 $$

On donne ici un exercice type concernant l'étude d'une suite arithmético-géométrique :

Exercice 1 Soit ($u_n$) une suite arithmético-géométrique de premier terme $u_0=1$ définie par $u_{n+1} = 2 u_n - 3$. Le but de l'exercice est d'obtenir une formule explicite au travers de plusieurs étapes.

1 On pose $v_n = u_n - 3$ une nouvelle suite. Montrer que ($v_n$) est une suite géométrique.

Il va falloir montrer qu'il existe une formule récursive pour $v_n$ du type $v_{n+1} = q imes u_n$ :

D'après la formule de la question 1, $$ v_{n+1} = u_{n+1} - 3 $$

D'après la formule récursive de l'énonce, on peut remplacer $u_{n+1}$ par $2 u_n - 3$ et donc : $$ v_{n+1} = 2 u_{n} - 3 - 3 \\ v_{n+1} = 2 u_{n} - 6 $$

Enfin, en modifiant la formule de la question 1, on sait que $u_n = v_n + 3$. On remplace donc u_n et : $$ v_{n+1} = 2 (v_n + 3) - 6\\ v_{n+1} = 2 v_n + 6 - 6\\ v_{n+1} = 2 v_n $$

En conclusion, la suite $v_n$ est une suite géométrique de raison 2

2 Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

C'est une formule explicite qui est demandée. On sait d'après la question précédente que la suite est géométrique. On connaît la raison, mais pas le premier terme : il faut le calculer. D'après la formule de la question 1, $v_n = u_n - 3$, donc $v_0 = u_0 - 3 = 1 - 3 = -2$.

La formule explicite est donc : $$ v_n = u_0 q^n\\ v_n = -2 \times 2 ^n \\ v_n = -2^{n+1} $$

3 Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

On souhaite une formule explicite pour la suite de départ $u_n$. On va utiliser la suite $v_n$ qui a été introduite :

D'après la formule modifiée de la question 1 : $$ u_n = v_n + 3 $$

On peut remplacer $v_n$ par l'expression de la formule explicite trouvée à la question précédente : $$ u_n = -2^{n+1} + 3 $$

4 Maintenant qu'une formule explicite existe, il est possible que l'exercice propose de calculer directement $u_{20}$ ou bien demande la limite de $u_n$

$u_{20} = -2^{21} + 3 = 2097149$
On sait que $lim\ 2^{n+1} = +\infty$, donc $lim\ -2^{n+1} = -\infty$ et donc $lim\ 2^{n+1} + 3 = -\infty$